Uptimistid

See on artikkel sellest, kuidas mitte millestki tehakse midagi, kuidas üldistest ideedest lähtunud näilise kaose asemel on tegelikult kindel ja keeruline struktuur, mida saab isegi oma silmaga näha.

Me võime võtta mõne hulga. Näiteks naturaalarvud {1, 2, 3, …}, näiteks viisnurga selliste pöörete hulga, mis jätab viisnurga alumise serva endiselt horisontaalseks (see hulk koosneb viiest pöördest: 0, 72, 144, 216 ja 288 kraadi) või lihtsalt… majad.

Me võime hulgal defineerida kahekohalise tehte ja seda kuidagi nimetada, näiteks korrutamiseks, ja kuidagi ka tähistada, näiteks *. Naturaalarvude puhul võime vaadata tavalist korrutamist, viisnurga pöörete hulgal võib korrutamiseks lugeda kahe pöörde järjest sooritamist ja kõigi majade hulgal korrutamiseks seda, kui paneme need kaks maja kõrvuti ja saame nii uue suurema (laiema) maja. Keegi ei keela maju ka üksteise otsa laduda.

Kõikide nende näidete juures on oluline, et peale selle tehte tegemist saadav tulemus kuulub esialgsesse hulka ja et seda tehet saab sooritada kõigi vaadeldava hulga elementidega. On selge, et kahe naturaalarvu korrutis on endiselt naturaalarv (ta ei muutu nulliks või negatiivseks ega tule ka kuskilt koma sisse), viisnurka vastavalt pöörates on väliselt endiselt seesama viisnurk, kuigi tippude asukohad on muutunud, ja kahe maja kõrvuti panemisel on tegemist ikkagi majaga, kui seinad kokku ehitame.

Sellist heade omadustega tehet nimetatakse algebraliseks tehteks. Selles mõttes ei sobi näiteks vaadelda Mustamäe majasid, kuna võime tehet korduvalt rakendades saada nii laia maja, et Mustamäel enam sellist ei eksisteeri. Maju üksteise otsa ladudes peame hoolt kandma, et alumise maja katuseosa enne eemaldame vms., sest muidu pole tegemist enam majaga ja tehe pole algebraline.

Tegelikult ei pea me vaatama kahekohalisi tehteid, võib vaadelda ka ühekohalisi, null-kohalisi, kolmekohalisi jne. Nullkohaline tehe on teisisõnu konstant. Näiteks naturaalarvude hulgas 1. Ühekohaline tehe täisarvude hulgas on näiteks vastandarvu võtmine: arvust 3 saab -3. Siin ei olnud vaja kahte arvu, et tulemust saada, vaid ainult ühte. Null-kohalise tehte puhul pole midagi vaja ette võtta, tulemus on lihtsalt konstant (näiteks 1 naturaalarvude hulgas või minu vanaema maamaja kõigi majade hulgas). Kolmekohaline tehe võib olla näiteks kolme arvu korrutamine või esimese kahe korrutamine ja kolmanda juurde liitmine. Võimalusi on palju, sest hulki võib välja mõelda väga erinevaid, samuti algebralisi tehteid.

Tehe kui selline on tegelikult teatud eriliiki funktsioon kahe hulga vahel, aga ma ei hakka seda täpsemalt enam lahti seletama, sest läheks liiga pikaks. Ühel ja samal hulgal võib defineerida korraga mitmeid erinevaid tehteid ehk siis funktsioone. Kui see funktsioonide hulk sisaldab kõik projektsioonid (teatavat sorti funktsioon, mis “valib” ette antud elementidest ühe välja) ja on kinnine kompositsioonide mõttes (st. erinevaid funktsioone järjest rakendades saame samasse hulka kuuluva funktsiooni), siis nimetatakse seda funktsioonide hulka klooniks, nii uskumatu kui see ka pole. See on tähtis sellepärast, et kui mingitel hulkadel koos tehetega on sama kloon, siis on nad teatud mõttes ise ka samad (ekvivalentsed). Ehk siis, tahtes teada kõikvõimalikke variante, piisab, kui leiame üles need, mille kloonid on erinevad.

Kuhu me jõudnud oleme? Olen kirja pannud mõningad üldised põhimõtted universaalalgebra valdkonnast. Need kõlavad võib-olla nii üldiselt ja samas mittemidagiütlevalt. Universaalalgebra oli ülikoolis minu jaoks täiesti ime, kuna see oli täpselt nagu võtta mitte midagi ja teha sellest midagi. See midagi on küll keeruline ja abstraktne, aga väga ilus.

Sest kui me nüüd järgmiseks võtame naturaalarvude, viisnurkade pöörete ja majade asemel vaatluse alla kõigest kahe-elemendilise hulga (tüüpiliselt {0,1}) ja paneme kirja selle hulga peal kõikvõimalikud kloonid ning lõpuks neid kloone omavahel võrdleme (kas üks kloon sisaldub teise sees) ning joonistame välja vastava diagrammi, siis on tulemus lihtsalt hämmastav. Selle diagrammiga sai hakkama matemaatik Emil Post juba aastal 1941 ja näha saab seda näiteks Wikipediast: http://en.wikipedia.org/wiki/Post’s_lattice.

Kokkuvõtteks lihtsustatult, me võtame õuna ja pirni, hakkame mõtlema, mida me nende kahega ette saame võtta, nii et tulemus on kas õun või pirn, paneme kirja kõikvõimalikud variandid, mis on teatud mõttes unikaalsed, paneme kirja nende omavahelise paigutuse ja tulemuseks on… midagi, mis on fundamentaalne ja mis eksisteerib igal pool. Ehk siis see on osa ümbritsevast maailmast. Mis on minu jaoks sama hea, kui füüsikas avastada mingi elementaarosakese sisemine struktuur, mis on küll keeruline, kuid tunduvalt lihtsam, kui esialgu arvata oleks julgenud.